Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Найдите все тройки простых чисел $p\leq q\leq r$ , такие, что числа $pq+r$, $pq+r^2$, $qr+p$, $qr+p^2$, $rp+q$, $rp+q^2$ являются также простыми.

Комментарий/решение

Для начала заметим, что если нечетны $p, q, r$, то число $pq+r$ четно, но единственное число 2 не удовлетворяет условию. А это значит, что среди $p, q, r$ есть четное число, то есть $p=2$. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что $q=3, r=5$

Заметим то, что $2$ - единственное четное простое число.

$pq+r,$ $pq+r^2,$ $qr+p,$ $qr+p^2,$ $rp+q,$ $rp+q^2 -$ не могут равняться 2, потому что $p, q, r \geq 2.$

Среди чисел $p, q, r$ только 1 один является четным, иначе одно из 6 чисел будет четным.

Поскольку $p \leq q \leq r$, то $p=2.$

Получаем:

$2q+r,$ $2q+r^2,$ $qr+2,$ $qr+4,$ $2r+q,$ $2r+q^2 \in P$

Пусть $p \in P.$

Тогда, $p \equiv 1, 5 \pmod {6}.$

Поскольку $qr+2,$ $qr+4 \in P$ то, $qr \equiv 3 \pmod {6}.$

То есть, $qr \equiv 0 \pmod {3},$ единственное такое простое это 3.

Значит, $q=3$. (Поскольку двоек больше нет).

Получаем:

Числа $6+r,$ $6+r^2 ,$ $3r+2,$ $3r+4,$ $2r+3,$ $2r+9 \in P$

Заметим что, если простое число делится на 5, то это число 5.

1)Если, $r \equiv 1 \pmod {5}$, то

$3r+2=5 \Rightarrow r=1.$ Противоречие.

2)Если, $r \equiv 2 \pmod {5}$, то

$3r+4=5 \rightarrow r=1/3.$ Противоречие.

3)Если, $r \equiv 3 \pmod {5}$, то

$2r+9=5 \rightarrow r=-2.$ Противоречие.

4)Если, $r \equiv 4 \pmod {5}$, то

$6+r=5 \rightarrow r=-1.$ Противоречие.

5)Если, $r \equiv 0 \pmod {5}$, то $r=5.$

Подставляем, выходит:

$11, 31, 17, 19, 13, 19 \in P.$

Ответ $p=2, q=3, r=5.$