Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. $ y=k_1x + b_1$, $y = k_2x + b_2$, $y = k_3x + b_3$ теңдеулері $y = x^2$ параболасына жүргізілген үш жанама түзудің теңдеуі болсын. Егер $k_3 = k_1 + k_2$ болса, $b_3\geq 2(b_1 + b_2)$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Сыныптық математикалық конкурста 10 жеңіл және 10 қиын есеп берілді. Барлық оқушылар шығарған есептер саны әрбірінде әр түрлі екені белгілі болды және Вася барлығынан аз шығарды. Әділ қазылар әрбір қиын есепке 2 ұпайдан, әр жеңіл есепке 1 ұпайдан берді. Вася барлығынан көп ұпай жинады. Конкурсқа ең көп дегенде қанша оқушы қатысуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №3. Теңдеуді шешіңіздер: $3(p^q+q^p)=n!$, мұндағы $p$, $q$ — жай сандар, $n$ — натурал сан.
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Түзу бойында $A$, $B$, $C$ нүктелері берілген($B$ нүктесі $A$ және $C$ нүктелері арасында жатады). $A$ және $B$ нүктелері арқылы кез келген $\omega$ шеңбері жүргізіледі. $C$ нүктесінен $\omega$ шеңберін $D$ және $E$ нүктелерінде жанайтын түзулер жүргізілген. $DE$ кесіндісінің ортасының геометриялық нүктелері жиынын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $m$ және $n$ натурал сандары үшін $F(m,n)$ арқылы $m \times n$ тіктөртбұрышындағы барлық торлық байланысқан фигуралар санын белгілейік. $F(m,n)$ санының жұптығы $\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot \dfrac{m(m+1)}{2}$ санының жұптығымен бірдей екенін дәлелдеңіздер. (Торлық байланысқан фигура — осы жиында кез келген тордан тордың сызығы бойымен осы жиындағы көрші торға өте алатындай бос емес торлар жиыны.)
комментарий/решение

Есеп №6. Теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер: $\textit{ЕКОЕ}(a,b)+\textit{ЕҮОБ}(a,b) = ab$. (ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш, ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік).
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Коэффициенттері бүтін болатын $2x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің әр түрлі үш түбірі бар. Теңдеудің бірінші түбірі бір бұрыштың синусы, екінші түбір сол бұрыштың косинусы және үшінші түбірі сол бұрыштың тангенсі екені белгілі болды. Барлық осындай теңдеулерді табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Кез келген он вектордың ішінен қосындысы нөлдік болатын үш вектор таңдай алатындай жазықтықта 2005 нөлдік емес векторлар салуға бола ма?
комментарий/решение

Есеп №9. Дәлелдеңіздер: $\dfrac{m}{n}$ қысқармайтын бөлшегін келесі қатынас түрінде жазуға болады $$\dfrac{2^{a_1}+2^{a_2}+ \dots +2^{a_k}}{2^{b_1}+2^{b_2}+ \dots +2^{b_l}},$$ тек және тек сонда ғана егер $m+n$ қосындысы тақ болса , мұндағы $a_1, a_2, \dots , a_k$, $b_1, b_2, \dots , b_l$ — әр түрлі натурал сандар.
комментарий/решение

Есеп №10. Үшбұрышты пирамиданың бүйір қабырғаларының табан жазықтығына проекцияларының ұзындықтары тең. Сол секілді бүйір қабырғаларының қарсы жағының жазықтығына түсірілген проекциялары тең. Пирамида төбесіндегі жазық бұрыштардың бірі $120^\circ $–қа тең. Төбедегі қалған екі жазық бұрышты табыңыздар.
комментарий/решение