Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Решите уравнение $3(p^q+q^p)=n!$, где $p$, $q$ — простые, $n$ — натуральное.

Комментарий/решение

Я нашел одно решение

p,q=(2,2) n=4!

Неизвестно есть ли решения при больших простых числах

Нужно проверить может ли сумма (p^q+q^p) равняться 40×6×(6+1)×(6+2)...×(6+х)

бро, кажется тебе сперва порешать задачи полегче.. простой перебор ответов врятли что то даст

Б.О.О. $p\ge q$. Предположим, что $p>q>3$. Тогда $3(p^q+q^p)$ не делится на $q$, следовательно $n<q$(иначе $n!$ делится на $q$). То есть $q!>n!=3(p^q+q^p)>6q^q>q!$ - противоречие. То есть $p=q; 6p^p=n!\Leftrightarrow p^p=4\cdot\ldots\cdot n$ При n>4, $p^p$ произведение более одного вида простого, следовательно $n=4, p=q=2$.