Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть $ y=k_1x + b_1$, $y = k_2x + b_2$, $y = k_3x + b_3$ — уравнения трех касательных к параболе $y = x^2$. Докажите, что если $k_3 = k_1 + k_2$, то $b_3\geq 2(b_1 + b_2)$.
комментарий/решение(1)

Задача №2. На классном математическом конкурсе выдали 10 легких и 10 сложных задач. Выяснилось, что все участники решили разное количество задач, причем Вася решил меньше всех. Однако, когда жюри начислило за каждую сложную задачу по 2 балла, а за каждую простую — по одному. Вася набрал больше баллов, чем любой другой участник. Какое максимальное число детей могло участвовать в конкурсе?
комментарий/решение

Задача №3. Решите уравнение $3(p^q+q^p)=n!$, где $p$, $q$ — простые, $n$ — натуральное.
комментарий/решение(4)

Задача №4. На прямой даны точки $A$, $B$, $C$ ($B$ лежит между $A$ и $C$). Через точки $A$ и $B$ проводится произвольная окружность $\omega$. Из точки $C$ к окружности проведены касательные, касающиеся $\omega$ в точках $D$ и $E$. Найдите геометрическое место середин отрезков $DE$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Для натуральных чисел $m$ и $n$ обозначим через $F(m,n)$ количество всех связных клеточных фигур в прямоугольнике $m \times n$. Докажите, что четность $F(m,n)$ совпадает с четностью числа $\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{m(m+1)}{2}$. (Связная клеточная фигура — это такое непустое множество клеток, что из любой клетки этого множества можно пройти в любую другую клетку этого множества, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетки).
комментарий/решение

Задача №6. Решите в натуральных числах уравнение ${\mathop{\hbox{НОК}}\nolimits} (a,b)+{\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} (a,b) = ab$. (НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное).
комментарий/решение(1)

Задача №7. Уравнение $2x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так, что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?
комментарий/решение

Задача №9. Докажите, что несократимую дробь $\frac{m}{n}$ можно представить в виде отношения $$\frac{2^{a_1}+2^{a_2}+ \dots +2^{a_k}}{2^{b_1}+2^{b_2}+ \dots +2^{b_l}},$$ где $a_1, a_2, \dots , a_k$, $b_1, b_2, \dots , b_l$ — различные натуральные числа, тогда и только тогда, когда сумма $m+n$ нечетна.
комментарий/решение

Задача №10. Проекции боковых ребер треугольной пирамиды на плоскость ее основания имеют равные длины. Также равные длины имеют проекции боковых ребер на плоскости противоположных боковых граней. Один из плоских углов при вершине пирамиды равен $120^\circ $. Найдите два других плоских угла при вершине.
комментарий/решение