Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс
Уравнение 2x3+ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Все тригонометрические корни одного угла , по условию , тогда по теореме Виета
sinx+cosx+tgx=−a2
sinx⋅cosx+sinx⋅tgx+cosx⋅tgx=b2
sin2x=−c2
Из третьего −1≤√−c2≤1 , откуда только три целых значения c=−2,−1,0 . То есть sinx=1,12,0
Подходит случаи , когда sin2x=12, c=−1 откуда x=3π4 , то есть b=−1 , a=2
Ответ 2x3+2x2−x−1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.