Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс


Уравнение 2x3+ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   1
8 года 6 месяца назад #

Все тригонометрические корни одного угла , по условию , тогда по теореме Виета

sinx+cosx+tgx=a2

sinxcosx+sinxtgx+cosxtgx=b2

sin2x=c2

Из третьего 1c21 , откуда только три целых значения c=2,1,0 . То есть sinx=1,12,0

Подходит случаи , когда sin2x=12,  c=1 откуда x=3π4 , то есть b=1 , a=2

Ответ 2x3+2x2x1