Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс
Уравнение $2x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Все тригонометрические корни одного угла , по условию , тогда по теореме Виета
$$sinx+cosx+tgx = -\dfrac{a}{2}$$
$$sinx \cdot cosx+sinx \cdot tgx+cosx \cdot tgx = \dfrac{b}{2}$$
$$sin^2x = - \dfrac{c}{2}$$
Из третьего $ -1 \leq \sqrt{-\dfrac{c}{2}} \leq 1 $ , откуда только три целых значения $c=-2,-1,0$ . То есть $sinx=1, \dfrac{1}{2} , 0$
Подходит случаи , когда $sin^2x =\dfrac{1}{2} , \ \ c=-1$ откуда $x=\dfrac{3\pi}{4}$ , то есть $b=-1$ , $a=2$
Ответ $2x^3+2x^2-x-1$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.