Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Коэффициенттері бүтін болатын $2x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің әр түрлі үш түбірі бар. Теңдеудің бірінші түбірі бір бұрыштың синусы, екінші түбір сол бұрыштың косинусы және үшінші түбірі сол бұрыштың тангенсі екені белгілі болды. Барлық осындай теңдеулерді табыңыздар.

Комментарий/решение

Все тригонометрические корни одного угла , по условию , тогда по теореме Виета

$$sinx+cosx+tgx = -\dfrac{a}{2}$$

$$sinx \cdot cosx+sinx \cdot tgx+cosx \cdot tgx = \dfrac{b}{2}$$

$$sin^2x = - \dfrac{c}{2}$$

Из третьего $ -1 \leq \sqrt{-\dfrac{c}{2}} \leq 1 $ , откуда только три целых значения $c=-2,-1,0$ . То есть $sinx=1, \dfrac{1}{2} , 0$

Подходит случаи , когда $sin^2x =\dfrac{1}{2} , \ \ c=-1$ откуда $x=\dfrac{3\pi}{4}$ , то есть $b=-1$ , $a=2$

Ответ $2x^3+2x^2-x-1$