Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

На прямой даны точки $A$, $B$, $C$ ($B$ лежит между $A$ и $C$). Через точки $A$ и $B$ проводится произвольная окружность $\omega$. Из точки $C$ к окружности проведены касательные, касающиеся $\omega$ в точках $D$ и $E$. Найдите геометрическое место середин отрезков $DE$.

Комментарий/решение

Пусть $F$ - середина $DE$, $O$ - центры $\omega$, $M$ - середина $AB$, точка $C'$ на $AB$ такая, что $MC'*MC=MA*MB$ тогда:

$1)$ Геометрическое место центров окружностей $\omega$ - серединный перпендикуляр к $AB$.

$2)$ Значение $CF*CO$ - постоянно. Так как $CA*CB=CD^2$ - постоянно и в $\triangle CDO:$ $DF \bot CO \Rightarrow \triangle CFD \sim \triangle CDO$, то есть $\frac{CF}{CD}=\frac{CD}{CO} \Rightarrow CF*CO=CD^2$ - что постоянно.

Тогда делаем инверсию в точке $C$ и радиусом $\sqrt {pow(C,\omega)}$. Тогда все точки $O$ переходят в точки $F$, но раз до этого $O$ лежали на прямой то после инверсии лежат на окружности с диаметром $C'C$, что и есть геометрическое место точек $F$.