Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып
Түзу бойында A, B, C нүктелері берілген(B нүктесі A және C нүктелері арасында жатады). A және B нүктелері арқылы кез келген ω шеңбері жүргізіледі. C нүктесінен ω шеңберін D және E нүктелерінде жанайтын түзулер жүргізілген. DE кесіндісінің ортасының геометриялық нүктелері жиынын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть F - середина DE, O - центры ω, M - середина AB, точка C′ на AB такая, что MC′∗MC=MA∗MB тогда:
1) Геометрическое место центров окружностей ω - серединный перпендикуляр к AB.
2) Значение CF∗CO - постоянно. Так как CA∗CB=CD2 - постоянно и в △CDO: DF⊥CO⇒△CFD∼△CDO, то есть CFCD=CDCO⇒CF∗CO=CD2 - что постоянно.
Тогда делаем инверсию в точке C и радиусом √pow(C,ω). Тогда все точки O переходят в точки F, но раз до этого O лежали на прямой то после инверсии лежат на окружности с диаметром C′C, что и есть геометрическое место точек F.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.