Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып
Теңдеуді шешіңіздер: 3(pq+qp)=n!, мұндағы p, q — жай сандар, n — натурал сан.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Б.О.О. p≥q. Предположим, что p>q>3. Тогда 3(pq+qp) не делится на q, следовательно n<q(иначе n! делится на q). То есть q!>n!=3(pq+qp)>6qq>q! - противоречие. То есть p=q;6pp=n!⇔pp=4⋅…⋅n При n>4, pp произведение более одного вида простого, следовательно n=4,p=q=2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.