Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Вася 11 қатар тұрған санды алып, оларды көбейтіп шықты. Коля да сол сандарды алып қосып шықты. Васяның алған санының соңғы екі цифры мен Коля алған санының соңғы екі цифры бірдей болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $a$, $b$, $c$ сандарынан тұратын жиынды $a^4-2b^2$, $b^4-2c^2$, $c^4-2a^2$ сандар жиынына ауыстырды. Нәтижесінде бастапқы жиынмен бірдей болып шықты. Егер $a$, $b$, $c$ сандарының қосындысы $3$–ке тең болса, онда $a$, $b$, $c$ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $АС$ табанынан $D$ нүктесі алынған. $ABD$ және $CBD$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлер жанасу нүктелерінде $BD$ қабырғасын тең үш бөлікке бөле алмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңдеуді шешіңіздер: $3(p^q+q^p)=n!$, мұндағы $p$, $q$ — жай сандар, $n$ — натурал сан.
комментарий/решение(15)

Есеп №5. Жазықтықта ешбір екеуі параллель болмайтындай 8 түзу жүргізілген. Осы түзулермен қамтылған көп дегенде қанша теңбүйірлі үшбұрыш құралуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №6. Жазықтықтағы нүктелердің әрбірі үш түстің біріне боялған(барлық түс қолданылады). Кез келген бояу жағдайында үш түс те бойында жататындай шеңбер таңдауға болады деп айта аламыз ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Сатушыда екі ыдысы бар қанттың салмағын өлшейтін көрсеткішті таразы бар. Таразы 0–ден 5000 граммга дейін көрсетеді. Қантты тек сол жағына ғана қоюға болады, ал гирлерді екі ыдыстың кез келгеніне қоюға болады. Бір өлшегенде 0-ден 25000 граммға дейінгі кез кез келген салмақты өлшей алатындай ең аз дегенде сатушады қанша гир болуы тиіс?
комментарий/решение(1)

Есеп №8. $ABC$ үшбұрышының $AC$, $BA$, $BC$ қабырғаларынан $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$ болатындай сәйкесінше $K$, $L$, $M$ нүктелері алынған. $AM$ және $CL$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылысады. $L$, $B$, $M$, $P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №9. Вася $N$ натурал санын айтты. Сосын Петя $N$ санының цифрларының қосындысын, сосын $N + 7 N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 2\cdot7 N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 3\cdot 7 N$ санының цифрлар қосындысын және т.с.с. есептеді. Әрбір есептегендегі саны оған дейінгі есептеген санынан үлкен болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(2)

Есеп №10. Мемлекетте аралары жолдармен қосылған бірнеше қала бар. Әрбір жол тек екі қаланы қосады және онда біржақты қозғалыс енгізілген; оған қоса қала жұптары бірден көп емес жолдармен қосылған. Кез келген қаладан шығып ол қалаға қайта оралуға болмайды. $A$ қаласынан $B$ қаласына дәл 2006 тәсілмен жетуге болады. Мемлекетте ең аз дегенде қанша қала болатынын анықтаңыздар.
комментарий/решение