Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс


Вася назвал натуральное число N. После чего Петя нашел сумму цифр числа N, потом сумму цифр числа N+7N, потом сумму цифр числа N+27N, потом сумму цифр числа N+37N, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
6 года 2 месяца назад #

Ответ:нет

От противного.

Лемма:S(10kn)=S(n)

Доказательство: число 10kn,получается с помощью ставление k раз 0 после числа n в десятичном записе. Но прибавление 0 сумму не изменяет.

S(N)<S(N+7N)<...<S(N+71456N)<S(N+71457N)=S(10000N)=S(N), S(N)<S(N). Противоречия.

  4
6 года 2 месяца назад #

Простите, я забыл здесь упомянуть что S(n) это сумма цифр числа n.