Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Вася взял 11 подряд идущих натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с последними двумя цифрами результата Коли?
комментарий/решение(2)

Задача №2. Набор, состоящий из чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ , заменили на набор

$a^4-2b^2$ ,

$b^4-2c^2$ ,

$c^4-2a^2$ . В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ , если их сумма равна

$-3$ .
комментарий/решение(4)

Задача №3. На основании

$АС$ треугольника

$ABC$ взята точка

$D$ . Докажите, что окружности, вписанные в треугольники

$ABD$ и

$CBD$ , точками касания не могут делить отрезок

$BD$ на три равных части.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Решите уравнение

$3(p^q+q^p)=n!$ , где

$p$ ,

$q$ — простые,

$n$ — натуральное.
комментарий/решение(15)

Задача №5. На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
комментарий/решение

Задача №6. Каждая из точек плоскости покрашена в один из трех цветов, причем все три цвета используются. Верно ли, что при любой такой покраске можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов?
комментарий/решение(1)

Задача №7. У продавца есть стрелочные весы для взвешивания сахара с двумя чашками. Весы могут показывать вес от 0 до 5000 г. При этом сахар можно класть только на левую чашку, а гири можно ставить на любую из двух чашек. Какое наименьшее количество гирь достаточно иметь продавцу, чтобы одним взвешиванием можно было отмерить любое количество сахара от 0 до 25000 г? Ответ объясните.
комментарий/решение(1)

Задача №8. На сторонах

$AC$ ,

$BA$ ,

$BC$ треугольника

$ABC$ взяты соответственно точки

$K$ ,

$L$ ,

$M$ так, что

$\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$ . Отрезки

$AM$ и

$CL$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что точки

$L$ ,

$B$ ,

$M$ ,

$P$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №9. Вася назвал натуральное число

$N$ . После чего Петя нашел сумму цифр числа

$N$ , потом сумму цифр числа

$N + 7 N$ , потом сумму цифр числа

$N + 2\cdot7 N$ , потом сумму цифр числа

$N + 3\cdot 7 N$ , и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?
комментарий/решение(2)

Задача №10. В стране есть несколько городов, соединенных дорогами. Каждая дорога соединяет только 2 города, и на ней введено одностороннее движение; при этом пара городов соединена не более чем одной дорогой. Выехав из любого города, нельзя в него вернуться. Известно, что из города

$A$ в город

$B$ можно проехать ровно 2006 способами. Найдите минимальное возможное число городов в стране.
комментарий/решение