Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

У продавца есть стрелочные весы для взвешивания сахара с двумя чашками. Весы могут показывать вес от 0 до 5000 г. При этом сахар можно класть только на левую чашку, а гири можно ставить на любую из двух чашек. Какое наименьшее количество гирь достаточно иметь продавцу, чтобы одним взвешиванием можно было отмерить любое количество сахара от 0 до 25000 г? Ответ объясните.

Комментарий/решение

Очевидно, что одной гири не хватит, так как для взвешивания $25$ кг сахара требуется не менее $20$ кг. Имея только такую гирю, продавец не сможет взвесить, к примеру $10$ кг сахара. Покажем, что продавцу достаточно двух гирь: одной весом в $5$ кг, второй весом в $15$ кг. Сахар весом от $0$ до $5$ кг можно взвесить без гирь. Чтобы взвесить от $5$ до $10$ кг, нужно гиря в $5$ кг и поставить ее на правую чашку. Чтобы взвесить от $10$ до $15$, нужно поставить гирю в $5$ кг на левую чашку, а гирю в $15$ кг на правую. Чтобы взвесить от $15$ до $20$ кг, нужно поставить гирю в $15$ кг на правую чашку. Чтобы взвесить от $20$ до $25$ кг, нужно поставить гири в $5$ и $15$ кг на правую чашку, именно поэтому достаточно двух гирь.