Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Каждая из точек плоскости покрашена в один из трех цветов, причем все три цвета используются. Верно ли, что при любой такой покраске можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов?

Комментарий/решение

Выберем точки которые покрашенные в цвета А,В,С. Если они не лежат на одной прямой то соеденив эти точки можно получить треугольник.А вокруг любого треугольника можно описать окружность.Допустим что они все же лежат на одной прямой.То есть мы имеем отрезок АС на которой лежит точка В. Теперь Построем на отрезке АС треугольник АСК. К должна быть покрашена в цвета С или А, иначе мы имеем окружность описанной около АСК вершины которого покрашены в разные цвета. Но при этом если Точка К покрашена в цвет С то мы имеем треугольник АВК где К покрашена в цвет С, вокруг которго можно описать окуржность с вершинами которые покрашены в разные цвета. Ну а если точка К покрашена в цвет А - вывод аналогичный.