Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Жазықтықтағы нүктелердің әрбірі үш түстің біріне боялған(барлық түс қолданылады). Кез келген бояу жағдайында үш түс те бойында жататындай шеңбер таңдауға болады деп айта аламыз ба?

Комментарий/решение

Выберем точки которые покрашенные в цвета А,В,С. Если они не лежат на одной прямой то соеденив эти точки можно получить треугольник.А вокруг любого треугольника можно описать окружность.Допустим что они все же лежат на одной прямой.То есть мы имеем отрезок АС на которой лежит точка В. Теперь Построем на отрезке АС треугольник АСК. К должна быть покрашена в цвета С или А, иначе мы имеем окружность описанной около АСК вершины которого покрашены в разные цвета. Но при этом если Точка К покрашена в цвет С то мы имеем треугольник АВК где К покрашена в цвет С, вокруг которго можно описать окуржность с вершинами которые покрашены в разные цвета. Ну а если точка К покрашена в цвет А - вывод аналогичный.