Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Набор, состоящий из чисел $a$, $b$, $c$, заменили на набор $a^4-2b^2$, $b^4-2c^2$, $c^4-2a^2$. В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа $a$, $b$, $c$, если их сумма равна $-3$.

Комментарий/решение

b_Ответ:_b $a=b=c=-1.$

Пусть $\mathbb{A}=(a;b;c)$ и $\mathbb{B}=(a^4-2b^2;b^4-2c^2;c^4-2a^2).$ Тогда $\mathbb{A}=\mathbb{B}$. Следовательно, сумма элементов $\mathbb{A}$ и $\mathbb{B}$ равны, то есть $$a^4-b^2+b^4-2c^2+c^4-2a^2=a+b+c;$$

$$a^4-b^2+b^4-2c^2+c^4-2a^2=-3;$$

$$[a^4-2a^2+1]+[b^4-2b^2+1]+[c^4-2c^2+1]=0;$$

$$(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2=0.$$

Получим возможные значения $a=\pm 1,$ $b=\pm 1,$ $c=\pm 1.$ Но для нашего случая $a+b+c=-3$ подходит только $a=b=c=-1.$

сумма исходных чисел и сумма замененных чисел не отличается:

$a^4-2b^2+b^4-2c^2+c^4-2a^2=a+b+c=-3$

$(a^4-2a^2+1)+(b^4-2b^2+1)+(c^4-2c^2+1)=0$

$(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2=0$

так как $k²\geq 0$

поэтому каждая скобка равна 0, решив уравнения получаем корни:

$a=b=c=±1$

подходят только корни с отрицательным знаком, так как сумма исходных чисел равна -3.

Хочу подметить что вышеуказанное решение полностью аналогично)

когда я решил, мне очень понравилось решение, вот я и оставил не заметив сверху такое же xD