Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
b_Ответ:_b a=b=c=−1.
Пусть A=(a;b;c) и B=(a4−2b2;b4−2c2;c4−2a2). Тогда A=B. Следовательно, сумма элементов A и B равны, то есть a4−b2+b4−2c2+c4−2a2=a+b+c;
a4−b2+b4−2c2+c4−2a2=−3;
[a4−2a2+1]+[b4−2b2+1]+[c4−2c2+1]=0;
(a2−1)2+(b2−1)2+(c2−1)2=0.
Получим возможные значения a=±1, b=±1, c=±1. Но для нашего случая a+b+c=−3 подходит только a=b=c=−1.
сумма исходных чисел и сумма замененных чисел не отличается:
a4−2b2+b4−2c2+c4−2a2=a+b+c=−3
(a4−2a2+1)+(b4−2b2+1)+(c4−2c2+1)=0
(a2−1)2+(b2−1)2+(c2−1)2=0
так как k²\geq 0
поэтому каждая скобка равна 0, решив уравнения получаем корни:
a=b=c=±1
подходят только корни с отрицательным знаком, так как сумма исходных чисел равна -3.
Хочу подметить что вышеуказанное решение полностью аналогично)
когда я решил, мне очень понравилось решение, вот я и оставил не заметив сверху такое же xD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.