Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер:

$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3.$
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$\cos(\sin(2005))$ және

$\sin(\cos(2005))$ сандарын салыстырыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Тепе-теңдікті дәлелдеңіздер:

$\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}} {2} \cdot \sin \dfrac{{n + 1}} {2}x}} {{\sin \dfrac{x} {2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}.$
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ қабырғасын ұзындықтары сәйкесінше 5 см және 3 см болатын

$AD$ және

$DB$ кесінділеріне бөледі.

$A$ бұрышы

$60^\circ$ болса,

$BC$ қабырғасының ұзындығын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қосындыны табыңыздар:

$1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$ABCD$

$(AB=CD)$ теңбүйірлі трапециясына шеңбер іштей сызылған.

$M$ —

$CD$ қабырғасының шеңбермен жанасу нүктесі,

$K$ —

$AM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі,

$L$ —

$BM$ кесіндісінің шеңбермен қиылысу нүктесі болсын.

$\dfrac{AM}{AK}+\dfrac{BM}{BL}$ мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$a, b, c, d$ оң сандары берілген. Теңсіздікті дәлелдеңіздер және

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ қандай мәндерінде теңдік орындалады:

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d).$
комментарий/решение(3)

Есеп №8. Теңдеуді рационал сандар жүйесінде шешіңздер:

$x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$
комментарий/решение(1)