Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Решить в рациональных числах уравнение: $x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$

Комментарий/решение

Решение. Заметим, что $f(2)=0$. Это значит, что $x=2$ является корнем уравнения. Теперь столбиком разделим многочлен на $x-2$ и получим $x^3-2x^2-17x-6$. Теперь , перебирая целые делители $-6$ находим, что $x=-3$ также является корнем уравнения. Теперь столбиком делим на $x+3$ и получим $x^2-5x-2$, корни которого $x_1=\dfrac{5-4\sqrt{2} }{2}, x_2=\dfrac{5+4\sqrt{2}}{2}$