Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Решите в целых числах уравнение: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3$.
комментарий/решение(4)
Задача №2.  Сравнить числа $\cos(\sin(2005))$ и $\sin(\cos(2005))$.
комментарий/решение(3)
Задача №3. Докажите справедливость тождества $$ \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}} {2} \cdot \sin \frac{{n + 1}} {2}x}} {{\sin \frac{x} {2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}. $$
комментарий/решение(2)
Задача №4. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, делит его сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$ с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина, угла $A$ равна $60^\circ $. Найдите длину стороны $BC$.
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите сумму: $1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3$.
комментарий/решение(1)
Задача №6. В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(AB=CD)$ вписана окружность. Пусть $M$ — точка касания окружности со стороной $CD$, $K$ — точка пересечения окружности с отрезком $AM$, $L$ — точка пересечения окружности с отрезком $BM$. Найдите величину $\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}$.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Числа $a, b, c, d$ положительны. Докажите неравенство $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d)$ и выясните, при каких $a$, $b$, $c$, $d$ оно обращается в равенство.
комментарий/решение(3)
Задача №8.  Решить в рациональных числах уравнение: $x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$
комментарий/решение(1)