Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите в целых числах уравнение:

$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3$ .
комментарий/решение(4)

Задача №2. Сравнить числа

$\cos(\sin(2005))$ и

$\sin(\cos(2005))$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Докажите справедливость тождества

$\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}} {2} \cdot \sin \frac{{n + 1}} {2}x}} {{\sin \frac{x} {2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Окружность, вписанная в треугольник

$ABC$ , делит его сторону

$AB$ на отрезки

$AD$ и

$DB$ с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина, угла

$A$ равна

$60^\circ$ . Найдите длину стороны

$BC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите сумму:

$1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В равнобедренную трапецию

$ABCD$

$(AB=CD)$ вписана окружность. Пусть

$M$ — точка касания окружности со стороной

$CD$ ,

$K$ — точка пересечения окружности с отрезком

$AM$ ,

$L$ — точка пересечения окружности с отрезком

$BM$ . Найдите величину

$\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Числа

$a, b, c, d$ положительны. Докажите неравенство

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d)$ и выясните, при каких

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ оно обращается в равенство.
комментарий/решение(3)

Задача №8. Решить в рациональных числах уравнение:

$x^4-4x^3-13x^2+28x+12=0.$
комментарий/решение(1)