Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(AB=CD)$ вписана окружность. Пусть $M$ — точка касания окружности со стороной $CD$, $K$ — точка пересечения окружности с отрезком $AM$, $L$ — точка пересечения окружности с отрезком $BM$. Найдите величину $\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}$.

Комментарий/решение

Так как $AE=ED=DM=x$ и $CM=BF=CF=y$ как касательные , то $x \sqrt{5-4cos \angle ADC} = AM$ и по теореме касательной и секущей $AK \cdot \sqrt{5-4cos \angle ADC} = x$ , откуда $\dfrac{AM}{AK} = 5-4cos \angle ADC$ , так же и с $\dfrac{BM}{BL} = 5+4cos \angle ADC$ , откуда ответ $10$