Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Найдите сумму: $1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3$.

Комментарий/решение

Пусть $S_n=1^3+2^3+3^3+ \ldots +n^3$.

Рассмотрим частичные суммы.

$S_1=1^3=1$

$S_2=1^3+2^3=9$

$S_3=1^3+2^3+3^3=36$

$S_4=1^3+2^3+3^3+4^3=100$

$S_5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225$

Наблюдаем следующую закономерность:

$S_1=1^2$

$S_2=3^2$

$S_3=6^2$

$S_4=10^2$

$S_5=15^2$

Рассматривая данную закономерность, можно заметить, что:

$S_1=1^2=\left(\cfrac{1\cdot 2}{2}\right)^2$

$S_2=3^2=\left(\cfrac{2\cdot 3}{2}\right)^2$

$S_3=6^2=\left(\cfrac{3\cdot 4}{2}\right)^2$

$S_4=10^2=\left(\cfrac{4\cdot 5}{2}\right)^2$

$S_5=15^2=\left(\cfrac{5\cdot 6}{2}\right)^2$

b_Гипотеза:_b $S_n=\cfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

b_Доказательство:_b

Докажем мат индукцией.

$\square$ Для $n=1$ - верно.

Пусть верно для $n=k$, т. е. $S_k=\cfrac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Проверим для $n=k+1$, получим:

$S_{k+1}=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$S_k+(k+1)^3=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$\cfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$\cfrac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4}=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$\cfrac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\cfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \blacksquare$

Значит, $S_n=1^3+2^3+3^3+ \ldots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}$