Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Числа $a, b, c, d$ положительны. Докажите неравенство $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq 4(a-d)$ и выясните, при каких $a$, $b$, $c$, $d$ оно обращается в равенство.

Комментарий/решение

Так как $\dfrac{a^2}{b}+4b\geq2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}•4b}=4a$ или $\dfrac{a^2}{b}\geq4(a-b)$, аналогично:

$\dfrac{b^2}{c}\geq4(b-c)$

$\dfrac{c^2}{d}\geq4(c-d)$.

Если просуммировать эти неравенства:

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}\geq4(a-d)$ что и требовалось доказать.

Равенство при $a=2b=4c=8d$.

кбш дробный

$$LHS >= \frac{(a + b + c)^2}{b + c + d}$$

замена $$a-d=x$$ $$b+c+d=y$$

тогда имеем $$(x + y)^2 \geq 4xy$$

к которому не сложно убедиться

равенство когда $$x=y$$