Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Понятно, что ни одно из чисел x, y, z не равно нулю.
b_1)_b Рассмотрим случай, когда все числа положительны. Тогда, так как по условию это целые числа, то они все натуральные. По неравенству Коши
3=xyz+yzx+zxy≥33√xyz⋅yzx⋅zxy=33√xyz,
откуда 3≥33√xyz ⇔ 1≥3√xyz ⇔ 1≥xyz. Но произведение натуральных чисел не больше 1 только при x=y=z=1.
b_2)_b Если все числа отрицательны, то левая часть исходного уравнения будет отрицательной, в то время как правая положительна. Противоречие. Также приходим к противоречию, если среди данных чисел только одно отрицательное число.
b_3)_b Если среди данных чисел отрицательных два, скажем x=−x1, y=−y1 (здесь x1>0, y1>0), и одно положительное число z=z1, то подставив эти числа и исходное уравнение получим уравнение
x1y1z1+y1z1x1+z1x1y1=3, аналогичное в случае b_1_b, для которого нужно найти положительные решения.
Из всего этого понятно, что нужно набором решения (x,y,z) будет перестановка множеств {1,1,1} и {−1,−1,1}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.