Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Решите в целых числах уравнение: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}=3$.

Комментарий/решение

Ответ не может быть при $x=y=z=-1$ так как,

$$xy/z + yz/x + xz/y = ((-1)×(-1))/(-1)+((-1)×(-1))/(-1)+((-1)×(-1))/(-1)=-3$$

Понятно, что ни одно из чисел $x$, $y$, $z$ не равно нулю.

b_1)_b Рассмотрим случай, когда все числа положительны. Тогда, так как по условию это целые числа, то они все натуральные. По неравенству Коши

$$3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3\sqrt[3]{\frac{xy}{z}\cdot \frac{yz}{x}\cdot \frac{zx}{y}}=3\sqrt[3]{xyz},$$

откуда $3\ge 3\sqrt[3]{xyz}$ $\Leftrightarrow$ $1\ge \sqrt[3]{xyz}$ $\Leftrightarrow$ $1\ge xyz$. Но произведение натуральных чисел не больше 1 только при $x=y=z=1$.

b_2)_b Если все числа отрицательны, то левая часть исходного уравнения будет отрицательной, в то время как правая положительна. Противоречие. Также приходим к противоречию, если среди данных чисел только одно отрицательное число.

b_3)_b Если среди данных чисел отрицательных два, скажем $x=-{{x}_{1}}$, $y=-{{y}_{1}}$ (здесь $x_1>0$, $y_1>0$), и одно положительное число $z={{z}_{1}}$, то подставив эти числа и исходное уравнение получим уравнение

$$\frac{{{x}_{1}}{{y}_{1}}}{{{z}_{1}}}+\frac{{{y}_{1}}{{z}_{1}}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{z}_{1}}{{x}_{1}}}{{{y}_{1}}}=3,$$ аналогичное в случае b_1_b, для которого нужно найти положительные решения.

Из всего этого понятно, что нужно набором решения $\left( x,y,z \right)$ будет перестановка множеств $\left\{ 1,1,1 \right\}$ и $\left\{ -1,-1,1 \right\}$.

В. Г. Болтянский Н. Я. Виленкин. СИММЕТРИЯ в АЛГЕБРЕ.

73 бет. №31 есеп