Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып


Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіздер: xyz+yzx+zxy=3.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 4 месяца назад #

  0
5 года 4 месяца назад #

Ответ не может быть при x=y=z=1 так как,

xy/z+yz/x+xz/y=((1)×(1))/(1)+((1)×(1))/(1)+((1)×(1))/(1)=3

  0
9 года назад #

Понятно, что ни одно из чисел x, y, z не равно нулю.

b_1)_b Рассмотрим случай, когда все числа положительны. Тогда, так как по условию это целые числа, то они все натуральные. По неравенству Коши

3=xyz+yzx+zxy33xyzyzxzxy=33xyz,

откуда 333xyz 13xyz 1xyz. Но произведение натуральных чисел не больше 1 только при x=y=z=1.

b_2)_b Если все числа отрицательны, то левая часть исходного уравнения будет отрицательной, в то время как правая положительна. Противоречие. Также приходим к противоречию, если среди данных чисел только одно отрицательное число.

b_3)_b Если среди данных чисел отрицательных два, скажем x=x1, y=y1 (здесь x1>0, y1>0), и одно положительное число z=z1, то подставив эти числа и исходное уравнение получим уравнение

x1y1z1+y1z1x1+z1x1y1=3, аналогичное в случае b_1_b, для которого нужно найти положительные решения.

Из всего этого понятно, что нужно набором решения (x,y,z) будет перестановка множеств {1,1,1} и {1,1,1}.

пред. Правка 2   0
4 года назад #

В. Г. Болтянский Н. Я. Виленкин. СИММЕТРИЯ в АЛГЕБРЕ.

73 бет. №31 есеп