Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Понятно, что ни одно из чисел $x$, $y$, $z$ не равно нулю.
b_1)_b Рассмотрим случай, когда все числа положительны. Тогда, так как по условию это целые числа, то они все натуральные. По неравенству Коши
$$3=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge 3\sqrt[3]{\frac{xy}{z}\cdot \frac{yz}{x}\cdot \frac{zx}{y}}=3\sqrt[3]{xyz},$$
откуда $3\ge 3\sqrt[3]{xyz}$ $\Leftrightarrow$ $1\ge \sqrt[3]{xyz}$ $\Leftrightarrow$ $1\ge xyz$. Но произведение натуральных чисел не больше 1 только при $x=y=z=1$.
b_2)_b Если все числа отрицательны, то левая часть исходного уравнения будет отрицательной, в то время как правая положительна. Противоречие. Также приходим к противоречию, если среди данных чисел только одно отрицательное число.
b_3)_b Если среди данных чисел отрицательных два, скажем $x=-{{x}_{1}}$, $y=-{{y}_{1}}$ (здесь $x_1>0$, $y_1>0$), и одно положительное число $z={{z}_{1}}$, то подставив эти числа и исходное уравнение получим уравнение
$$\frac{{{x}_{1}}{{y}_{1}}}{{{z}_{1}}}+\frac{{{y}_{1}}{{z}_{1}}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{z}_{1}}{{x}_{1}}}{{{y}_{1}}}=3,$$ аналогичное в случае b_1_b, для которого нужно найти положительные решения.
Из всего этого понятно, что нужно набором решения $\left( x,y,z \right)$ будет перестановка множеств $\left\{ 1,1,1 \right\}$ и $\left\{ -1,-1,1 \right\}$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.