Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дана последовательность чисел

$\{a_n\}$ , удовлетворяющих условиям

$a_{125} \neq 0$ ,

$a_i\cdot a_j=a_{i+j}\cdot (a_i+a_j)$ , для любых натуральных

$i$ ,

$j$ . Чему равно

$a_{2000}$ , если

$a_{2001}=2000$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Решить в натуральных числах уравнение

$a^4+a^3+a^2+a+1=b^2$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ на стороне

$BC$ выбрана точка

$D$ . Пусть

$E$ и

$F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$D$ на стороны

$AB$ и

$AC$ соответственно. Докажите, что если

$DE^2+DF^2$ принимает минимальное из всех возможных значений, то угол между

$AD$ и биссектрисой угла

$A$ равен углу между биссектрисой и медианой, опущенных из вершины

$A$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что любое целое число представимо в виде

$x^2+y^2+z^3$ , где

$x$ ,

$y$ и

$z$ — целые числа.
комментарий/решение(6)

Задача №5. Клетчатая доска

$2001\times 2001$ разбита на фигурки трех видов

. Докажите, что фигурок первого вида не меньше чем

$4003$ .
комментарий/решение

Задача №6. Докажите неравенство

$(1+a_1)(1+a_2) \dots (1+a_n)\leq 1+s+\frac{s^2}{2!}+ \dots +\frac{s^n}{n!},$ где

$a_i>0$ ,

$i=1$ ,

$2$ ,

$\dots$ ,

$n$ и

$s=a_1+a_2+ \dots +a_n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Дан четырехугольник

$ABCD$ и точка

$F$ внутри него. Известно, что

$ABCF$ — параллелограмм. Докажите, что

$S_{ABC}\cdot S_{ACD}+S_{AFD}\cdot S_{FCD}=S_{ABD}\cdot S_{BCD}.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Даны натуральные числа

$q$ ,

$n$

$\text{и}$

$r$ ,

$0 < r \le n$ . Докажите, что число

$(q^n-1)(q^n-q) \dots (q^n-q^{r-1})$ делится на

$r$ !.
комментарий/решение