Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Кез келген натурал i,j сандары үшін ai⋅aj=ai+j(ai+aj) теңдігін және a125≠0 шартын қанағаттандыратын {an} тізбегі берілген. Егер a2001=2000 екені белгілі болса, a2000 неге тең?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ :a2000=2001
Докажем по индукции, что a1=n⋅an
1) a1⋅a1=a2(a1+a1)
a12=2⋅a2⋅a1.
a1=2a2 - это база
Пусть a1=n⋅an. Докажем, что a1=(n+1)⋅an+1;
an⋅a1=an+1(a1+an);.
так как a1=n⋅an,то перепишем условие так
. n⋅an⋅an=an+1(n⋅an+an).
Путем несложных преобразован получается
n⋅an=a1=an+1⋅(n+1)
Теперь получим, что, 2000⋅a2000=a2001⋅2001, откуда ясен ответ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.