Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Дана последовательность чисел $\{a_n\}$, удовлетворяющих условиям $a_{125} \neq 0$, $a_i\cdot a_j=a_{i+j}\cdot (a_i+a_j)$, для любых натуральных $i$, $j$. Чему равно $a_{2000}$, если $a_{2001}=2000$?

Комментарий/решение

Ответ :$a_{2000}=2001$

Докажем по индукции, что $a_1=n\cdot {a_n} $

1) $a_1\cdot {a_1}=a_2 (a_1+a_1) $

${a_1}^2=2\cdot {a_2}\cdot {a_1} $.

$a_1=2a_2$ - это база

Пусть $a_1=n\cdot {a_n} $. Докажем, что $a_1=(n+1)\cdot {a_{n+1}} $;

$a_n\cdot {a_1}=a_{n+1}(a_1+a_n);$.

так как $a_1=n\cdot {a_n} $,то перепишем условие так

. $n\cdot {a_n}\cdot {a_n}=a_{n+1}(n\cdot {a_n}+a_n) $.

Путем несложных преобразован получается

$n\cdot {a_n }=a_1=a_{n+1}\cdot {(n+1)} $

Теперь получим, что, $2000\cdot {a_{2000}}=a_{2001}\cdot {2001} $, откуда ясен ответ