Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып


Кез келген натурал i,j сандары үшін aiaj=ai+j(ai+aj) теңдігін және a1250 шартын қанағаттандыратын {an} тізбегі берілген. Егер a2001=2000 екені белгілі болса, a2000 неге тең?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
8 года 6 месяца назад #

Ответ :a2000=2001

Докажем по индукции, что a1=nan

1) a1a1=a2(a1+a1)

a12=2a2a1.

a1=2a2 - это база

Пусть a1=nan. Докажем, что a1=(n+1)an+1;

ana1=an+1(a1+an);.

так как a1=nan,то перепишем условие так

. nanan=an+1(nan+an).

Путем несложных преобразован получается

nan=a1=an+1(n+1)

Теперь получим, что, 2000a2000=a20012001, откуда ясен ответ