Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал i,j сандары үшін ai⋅aj=ai+j(ai+aj) теңдігін және a125≠0 шартын қанағаттандыратын {an} тізбегі берілген. Егер a2001=2000 екені белгілі болса, a2000 неге тең?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. ABC сүйір бұрышты үшбұрышының BC қабырғасында D нүктесі таңдап алынған. D нүктесінен сәйкесінше AB және AC қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардьң табандарын E және F деп белгілейік. Егер DE2+DF2 өрнегінің шамасы ең кіші мүмкін болатын мәнге тең болса, AD мен A бұрыштың биссектрисасы арасындағы бұрыш A төбесінен түсірілген биссекстриса мен медиана арасындағы бұрышқа тең екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген бүтін санды x2+y2+z3 түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер, мұндағы x,y және z бүтін сандар.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №5. 2001×2001 торкөз тақта келесі үш түрлі фигураларға бөлінген:
. Бірінші фигуралардың саны 4003 тен кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

комментарий/решение
Есеп №6. Келесі теңсіздікті делелдеңдер: (1+a1)(1+a2)…(1+an)≤1+s+s22!+…+snn!, мұндағы ai>0, i=1,2,…,n. және s=a1+a2+…+an.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. ABCD төртбұрышы және оның ішіндегі F нүктесі берілген. ABCF төртбұрышының параллелограмм екені белгілі. SABC⋅SACD+SAFD⋅SFCD=SABD⋅SBCD екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. q,n және r, 0<r≤n натурал сандары берілген. (qn−1)(qn−q)…(qn−qr−1) саны r! санына бөлінетінін делелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение