Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Кез келген натурал

$i,j$ сандары үшін

${{a}_{i}}\cdot {{a}_{j}}={{a}_{i+j}}\left( {{a}_{i}}+{{a}_{j}} \right)$ теңдігін және

${{a}_{125}}\ne 0$ шартын қанағаттандыратын

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі берілген. Егер

${{a}_{2001}}=2000$ екені белгілі болса,

${{a}_{2000}}$ неге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер:

${{a}^{4}}+{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+a+1={{b}^{2}}$ .
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышының

$BC$ қабырғасында

$D$ нүктесі таңдап алынған.

$D$ нүктесінен сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардьң табандарын

$E$ және

$F$ деп белгілейік. Егер

$D{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}$ өрнегінің шамасы ең кіші мүмкін болатын мәнге тең болса,

$AD$ мен

$A$ бұрыштың биссектрисасы арасындағы бұрыш

$A$ төбесінен түсірілген биссекстриса мен медиана арасындағы бұрышқа тең екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген бүтін санды

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{3}}$ түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер, мұндағы

$x,y$ және

$z$ бүтін сандар.
комментарий/решение(6)

Есеп №5.

$2001\times 2001$ торкөз тақта келесі үш түрлі фигураларға бөлінген:

. Бірінші фигуралардың саны 4003 тен кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №6. Келесі теңсіздікті делелдеңдер:

$(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\ldots (1+{{a}_{n}})\le 1+s+\dfrac{{{s}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{s}^{n}}}{n!},$ мұндағы

${{a}_{i}} > 0$ ,

$i=1,2,\ldots ,n$ . және

$s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$ABCD$ төртбұрышы және оның ішіндегі

$F$ нүктесі берілген.

$ABCF$ төртбұрышының параллелограмм екені белгілі.

${{S}_{ABC}}\cdot {{S}_{ACD}}+{{S}_{AFD}}\cdot {{S}_{FCD}}={{S}_{ABD}}\cdot {{S}_{BCD}}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$q,n$ және

$r$ ,

$0 < r\le n$ натурал сандары берілген.

$({{q}^{n}}-1)({{q}^{n}}-q)\ldots ({{q}^{n}}-{{q}^{r-1}})$ саны

$r!$ санына бөлінетінін делелдеңіздер.
комментарий/решение