Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал i,j сандары үшін aiaj=ai+j(ai+aj) теңдігін және a1250 шартын қанағаттандыратын {an} тізбегі берілген. Егер a2001=2000 екені белгілі болса, a2000 неге тең?
комментарий/решение(1)
Есеп №2.  Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер: a4+a3+a2+a+1=b2.
комментарий/решение(3)
Есеп №3. ABC сүйір бұрышты үшбұрышының BC қабырғасында D нүктесі таңдап алынған. D нүктесінен сәйкесінше AB және AC қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардьң табандарын E және F деп белгілейік. Егер DE2+DF2 өрнегінің шамасы ең кіші мүмкін болатын мәнге тең болса, AD мен A бұрыштың биссектрисасы арасындағы бұрыш A төбесінен түсірілген биссекстриса мен медиана арасындағы бұрышқа тең екенін дәледдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген бүтін санды x2+y2+z3 түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер, мұндағы x,y және z бүтін сандар.
комментарий/решение(6)
Есеп №5.  2001×2001 торкөз тақта келесі үш түрлі фигураларға бөлінген: . Бірінші фигуралардың саны 4003 тен кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Есеп №6. Келесі теңсіздікті делелдеңдер: (1+a1)(1+a2)(1+an)1+s+s22!++snn!, мұндағы ai>0, i=1,2,,n. және s=a1+a2++an.
комментарий/решение(1)
Есеп №7. ABCD төртбұрышы және оның ішіндегі F нүктесі берілген. ABCF төртбұрышының параллелограмм екені белгілі. SABCSACD+SAFDSFCD=SABDSBCD екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №8. q,n және r, 0<rn натурал сандары берілген. (qn1)(qnq)(qnqr1) саны r! санына бөлінетінін делелдеңіздер.
комментарий/решение