Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс
Докажите, что любое целое число представимо в виде x2+y2+z3, где x, y и z — целые числа.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Помогите пожалуйста а как представить число семь.
4+1+0=5
4+1+1=6
4+4+0=8
Представить любое чётное число с помощью одной формулы очень сложно или невозможно. Так что я разделил чётные числа на 2 случая(4k и 4k+2), тогда:
4k+2=(2k3−2k2−k)2+(2k3−4k2−k+1)2+(−2k2+2k+1)3
Точно так же найти формулу для 4k очень сложно. И сделаем точно так же:
8k+4=(k2−2k−1)2+(k2−2k−1)2+(−k2−1)3.
Далее заметим что любое натуральное число представимо в виде n=8ma, где a не делиться на 8 и m - натуральное число. Очевидно что a будет одним из чисел которым я предоставил формулу. Теперь заметим, если a=x2+y2+z3, тогда 8a=(2x−2y)2+(2x+2y)2+(2z)3. Из этого всего выходит что любое натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов и куба целых чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.