Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Решить в натуральных числах уравнение $a^4+a^3+a^2+a+1=b^2$.

Комментарий/решение

$$(x^2+\frac{x}{2}+\frac{3}{8})^2+\frac{5}{8}x+\frac{55}{64}=y^2 \Rightarrow (8x^2+4x+3)^2+40x+55=(8y)^2$$ $$8y\geq 8x^2 +4x+3$$ $$2y\geq 2x^2+x+1$$ $$4y^2 \geq 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$$ $$4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\geq 4x^4+4x^3+5x^2 +2x+1 \Rightarrow x^2-2x-3\leq 0$$ $$x\in [-1,3]\Rightarrow N:1,2,3\Rightarrow x=3, y=11$$

Откуда вы взяли

1-ое уравнение

Ответ: $a = 3$, $b = 11$.

Так как a и b натуральрое числа, и для них должно выполняться равенство $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = b^2$, то:

$(2a^2 + a)^2 = 4a^4 + 4a^3 + a^2 < 4b^2$;

$(2a^2 + a + 2)^2 = 4a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 4a + 4 > 4b^2$.

Отсюда следует, что $(2a^2 + a + 1) = 4b^2$; $(2a^2 + a + 1)^2 = 4(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)$; $a^2 - 2a - 3 = 0$; $a = 3$ и $b = 11$