Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $D$. Пусть $E$ и $F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на стороны $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что если $DE^2+DF^2$ принимает минимальное из всех возможных значений, то угол между $AD$ и биссектрисой угла $A$ равен углу между биссектрисой и медианой, опущенных из вершины $A$.

Комментарий/решение

$S_{1},S_{2}$ - площади треугольников $ADB,ADC$ соответственно, тогда $DE^2+DF^2 = \dfrac{4S_{1}^2}{AB^2} + \dfrac{4S_{2}^2}{AC^2} \geq \dfrac{4(S_{1}+S_{2})^2}{AB^2+AC^2}$ (последнее по неравенству Коши-Буняковского), откуда равенство выполняется тогда, когда $\dfrac{S_{1}}{S_{2}} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$ то есть $AD$ симедиана треугольника $ABC$ откуда следует утверждение в условий .