Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Дан четырехугольник $ABCD$ и точка $F$ внутри него. Известно, что $ABCF$ — параллелограмм. Докажите, что $$S_{ABC}\cdot S_{ACD}+S_{AFD}\cdot S_{FCD}=S_{ABD}\cdot S_{BCD}.$$

Комментарий/решение

$J,H,G,E$ основания высот соответственно опущенных из вершины $D$ на стороны $BC,AB,CF,AF$ пусть $AB=a, \ AF=b, \ GH=c, \ DE=d, \ DG=x, \ DH=y, \ DJ=z$

Тогда $S_{ACF} = \dfrac{ac}{2}, S_{AFD}=\dfrac{bd}{2}, \ S_{FCD}=\dfrac{ax}{2}, \ S_{ACD}=\dfrac{ac+bd+ax}{2}, \ S_{ABD}=\dfrac{ay}{2}, \ S_{BCD}=\dfrac{bz}{2}$

Подставляя в условие

$$ac(ac+bd+ax)+abdx = abyz$$ (1)

но выразив площадь параллелограмма двумя способами через две стороны, получается $$z=\dfrac{ac+bd}{b}$$ (2)

выражая с $(1)$ сторону $z$ и приравнивая к $(2)$ получается $$\dfrac{ac+bd}{b} = \dfrac{(c+x)(ac+bd)}{by}$$ откуда $ac+bd \ne 0$ значит $y=c+x$ что верно