Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс
Дан четырехугольник $ABCD$ и точка $F$ внутри него.
Известно, что $ABCF$ — параллелограмм. Докажите, что
$$
S_{ABC}\cdot S_{ACD}+S_{AFD}\cdot S_{FCD}=S_{ABD}\cdot S_{BCD}.
$$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$J,H,G,E$ основания высот соответственно опущенных из вершины $D$ на стороны $BC,AB,CF,AF$ пусть $ AB=a, \ AF=b, \ GH=c, \ DE=d, \ DG=x, \ DH=y, \ DJ=z$
Тогда $ S_{ACF} = \dfrac{ac}{2}, S_{AFD}=\dfrac{bd}{2}, \ S_{FCD}=\dfrac{ax}{2}, \ S_{ACD}=\dfrac{ac+bd+ax}{2}, \ S_{ABD}=\dfrac{ay}{2}, \ S_{BCD}=\dfrac{bz}{2}$
Подставляя в условие
$$ac(ac+bd+ax)+abdx = abyz$$ (1)
но выразив площадь параллелограмма двумя способами через две стороны, получается $$z=\dfrac{ac+bd}{b}$$ (2)
выражая с $(1)$ сторону $z$ и приравнивая к $(2)$ получается $$\dfrac{ac+bd}{b} = \dfrac{(c+x)(ac+bd)}{by}$$ откуда $ac+bd \ne 0$ значит $y=c+x$ что верно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.