Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

$ABCD$ төртбұрышы және оның ішіндегі $F$ нүктесі берілген. $ABCF$ төртбұрышының параллелограмм екені белгілі. ${{S}_{ABC}}\cdot {{S}_{ACD}}+{{S}_{AFD}}\cdot {{S}_{FCD}}={{S}_{ABD}}\cdot {{S}_{BCD}}$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$J,H,G,E$ основания высот соответственно опущенных из вершины $D$ на стороны $BC,AB,CF,AF$ пусть $AB=a, \ AF=b, \ GH=c, \ DE=d, \ DG=x, \ DH=y, \ DJ=z$

Тогда $S_{ACF} = \dfrac{ac}{2}, S_{AFD}=\dfrac{bd}{2}, \ S_{FCD}=\dfrac{ax}{2}, \ S_{ACD}=\dfrac{ac+bd+ax}{2}, \ S_{ABD}=\dfrac{ay}{2}, \ S_{BCD}=\dfrac{bz}{2}$

Подставляя в условие

$$ac(ac+bd+ax)+abdx = abyz$$ (1)

но выразив площадь параллелограмма двумя способами через две стороны, получается $$z=\dfrac{ac+bd}{b}$$ (2)

выражая с $(1)$ сторону $z$ и приравнивая к $(2)$ получается $$\dfrac{ac+bd}{b} = \dfrac{(c+x)(ac+bd)}{by}$$ откуда $ac+bd \ne 0$ значит $y=c+x$ что верно