1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Республикалық олимпиада
  4. Облыстық кезең
  5. 2000-2001 оқу жылы
  6. 9 сынып

Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал санды ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде $x,y,z$ натурал сандар.
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $3\times 3$ кестесінің әр торында нақты сан жазылған. $i$-ші қатар мен $j$-ші бағанның қиылысуында орналасқан сан, $i$-ші қатарда тұрған сандар қосындысы мен $j$-ші бағанда тұрған сандар қосындысының айырма модуліне тең $(i,j=1,2,3)$. Кестенің әрбір мүшесі қандай да бір басқа екі мүшелерінің қосындысына немесе айырмасына тең екенін дәлелдендер.
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышының $BC$ қабырғасында кез келген $D$ нүктесі таңдап алынған. $D$ нүктесінен сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардың табандарын $E$ және $F$ деп белгілейік. Келесі теңсіздіктерді дөлелдендер: $\dfrac{4{{S}^{2}}}{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}\le D{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}\le \max (h_{b}^{2},h_{c}^{2}),$мұндағы $S$ — үшбұрыштың ауданы, ${{h}_{b}}$ және ${{h}_{c}}$ сәйкесінше $B$ және $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің ұзындықтары.
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Үш оқушы $A$, $B$ және $C$ лицейге түсу үшін тесттерді тапсырып жатыр. Тесттер бірнеше тур болып өткізіледі. Әрбір турда ең жақсы, орташа және нашар нәтижелері анықталады. Ең жақсы нәтижесі үшін $x$ ұпай, орташа нәтижесі үшін $y$ ұпай, ал нашар нәтижесі үшін $z$ ұпай беріледі, мұндағы $x > y > z$ — натурал сандар. Ең соңында $A$ оқушысы 22 ұпай, $B$ және $C$ әрқайсысы 9 ұпайдан алған. Бірінші турда ең жақсы нәтижені $B$ оқушысы көрсетті. Неше тур өткізілгенін және әр турда кім қандай нөтиже көрсеткенін анықтаңыздар.
комментарий/решение
Есеп №5. Үш бүтін $a$, $b$ және $c$ сандарының қосындысы үшке бөлінеді. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( (a-b)(b-c)(c-a) \right)}^{2}}$ саны да үшке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Кез келген нақты $x$ және $y$ сандары үшін $\left| \dfrac{(x+y)(1-xy)}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})} \right|\le \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
Есеп №7. $ABCD$ төртбұрышының кем дегенде екі қабырғасы параллель болу үшін, $ABD$ мен $BCD$ үшбұрыштардың аудандарының көбейтіндісі $ABC$ мен $BCD$ үшбұрыштардың аудандарының көбейтіндісіне тең болуы қажетті және жеткілікті шарт екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №8.  Егер $7\times 7$ торкөз тақтаның бір шаршысын алып тастағаннан кейін, тақтаның қалған бөлігін он бес түріндегі және бұрыш түріндегі бір фигуралармен жауып шығуға мүмкін емес болса, онда ол шаршы «нашар» деп аталады. Тақтаның барлық «нашар» шаршьшарын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)