Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Так как a+b+c делится нацело на 3,то сумма остатков при делении на 3 будет равна нулю. Рассмотрим несколько случаев
1) Пусть a,b,c имеют остатки 0 при делении на 3. Тогда выражение очевидно разделится на 3
2) Пусть a=0(mod3);b=1(mod3);c=2(mod3), то есть остатки будут 0,1,2. Тогда выражение имеет следующий остаток:0+1+1+(2⋅2⋅2)2=66=0(mod3). Другими словами, при этом случае выражение делится на 3
3) Если остатки чисел a,b,c равны 1 ,то остаток выражения равен:1+1+1+(0⋅0⋅0)2=3=0(mod3)
Другими словами, при этом случае выражение делится на три нацело .
Этими случаями исчерпывается все целые числа. Таким образом, если сумма чисел a,b,c делится нацело на три, то выражение разделится на 3,что и требовалось доказать.
откуда 66? может лучше было взять а=3n, b=3n+1, c=3n+2 . Тогда будет 0+1+1+((-1)*(-1)*2)2= 2+4=6 =0(mod3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.