Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс


Сумма трех целых чисел a,b,c делится на 3. Докажите, что a2+b2+c2+((ab)(bc)(ca))2 также делится на 3.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
8 года 3 месяца назад #

Так как a+b+c делится нацело на 3,то сумма остатков при делении на 3 будет равна нулю. Рассмотрим несколько случаев

1) Пусть a,b,c имеют остатки 0 при делении на 3. Тогда выражение очевидно разделится на 3

2) Пусть a=0(mod3);b=1(mod3);c=2(mod3), то есть остатки будут 0,1,2. Тогда выражение имеет следующий остаток:0+1+1+(222)2=66=0(mod3). Другими словами, при этом случае выражение делится на 3

3) Если остатки чисел a,b,c равны 1 ,то остаток выражения равен:1+1+1+(000)2=3=0(mod3)

Другими словами, при этом случае выражение делится на три нацело .

Этими случаями исчерпывается все целые числа. Таким образом, если сумма чисел a,b,c делится нацело на три, то выражение разделится на 3,что и требовалось доказать.

  -2
6 года 2 месяца назад #

откуда 66? может лучше было взять а=3n, b=3n+1, c=3n+2 . Тогда будет 0+1+1+((-1)*(-1)*2)2= 2+4=6 =0(mod3)

  3
6 года 2 месяца назад #

Он правильно решил, просто оформления не правельно. Вместо написал =. Сулушаш, nmn (modm).