Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что любое натуральное число представимо в виде

$x^2-y^2+z^2$ , где

$x$ ,

$y$ ,

$z$ — натуральные числа.
комментарий/решение(3)

Задача №2. В каждой клетке таблицы

$3\times 3$ написаны действительные числа. Элемент, стоящий на пересечении

$i$ -й строки и

$j$ -го столбца, равен модулю разности между суммой чисел

$i$ -й строки и суммой чисел

$j$ -го столбца

$(i,j=1, 2, 3)$ . Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь двух других элементов.
комментарий/решение

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ на стороне

$BC$ произвольным образом выбрана точка

$D$ . Пусть

$E$ и

$F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$D$ на стороны

$AB$ и

$AC$ , соответственно. Докажите, что

$\frac{4S^2}{AC^2+AB^2}\leq DE^2+DF^2\leq \max(h_b^2, h_c^2),$ где

$S$ — площадь треугольника,

$h_b$ и

$h_c$ — длины высот, опущенных из вершин

$B$ и

$C$ , соответственно.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Три ученика

$A$ ,

$B$ и

$C$ сдают тесты для поступления в лицей. Тесты проводятся в несколько туров. В каждом туре определяются самый лучший, средний и плохой результаты. За самый лучший результат дается

$x$ очков, средний

$y$ очков а плохой —

$z$ очков, где

$x>y>z$ — натуральные числа. В результате всех туров

$A$ набрал 22 очка,

$B$ и

$C$ по 9 очков каждый. Известно, что в первом туре ученик

$B$ показал самый лучший результат. Сколько было проведено туров, и как в каждом туре были распределены места?
комментарий/решение

Задача №5. Сумма трех целых чисел

$a, b, c$ делится на 3. Докажите, что

$a^2+b^2+c^2+((a-b)(b-c)(c-a))^2$ также делится на 3.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Докажите, что для любых вещественных чисел

$x$ и

$y$ справедливо неравенство

$\left|\frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|\leq \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №7. Докажите, что в четырехугольнике

$ABCD$ по крайней мере две стороны параллельны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников

$ABD$ и

$BCD$ равно произведению площадей треугольников

$ABC$ и

$ACD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Клетка клетчатой доски

$7\times 7$ называется

$\textit{плохой}$ , если удалив ее оставшуюся часть нельзя будет замостить пятнадцатью фигурками вида

и одной фигуркой вида

. Укажите все

$\textit{плохие}$ клетки.
комментарий/решение(1)