Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

В каждой клетке таблицы $3\times 3$ написаны действительные числа. Элемент, стоящий на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, равен модулю разности между суммой чисел $i$-й строки и суммой чисел $j$-го столбца $(i,j=1, 2, 3)$. Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь двух других элементов.

Комментарий/решение

Пусть $a_i$ - сумма элементов в строке номера $i$, аналогично $b_i$ со столбцами. Очевидно $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Число на на 1 строке и 1 столбце равна $|a_1 - b_1| = |a_2 + a_3 - b_2 - b_3|$, откуда $|a_1 - b_1| = x|a_2-b_2| + y|a_3 - b_3|$, где $x,y = \pm 1$. Очевидно $х = у = -1$ невозможно, ибо $|a_1 - b_1| > 0$. Тогда $|a_1 - b_1|$ - сумма или разность $|a_2 - b_2|$ и $|a_3 - b_3|$. Аналогично остальные