Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

В каждой клетке таблицы $3\times 3$ написаны действительные числа. Элемент, стоящий на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, равен модулю разности между суммой чисел $i$-й строки и суммой чисел $j$-го столбца $(i,j=1, 2, 3)$. Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь двух других элементов.

Комментарий/решение

Пусть ai - сумма элементов в строке номера i, аналогично bi со столбцами. Очевидно a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. Число на на 1 строке и 1 столбце равна |a1 - b1| = |a2 + a3 - b2 - b3|, откуда |a1 - b1| = x|a2-b2| + y|a3 - b3|, где x,y = +-1. Очевидно х = у = -1 невозможно, ибо |a1 - b1| > 0. Тогда |a1 - b1| - сумма или разность |a2 - b2| и |a3 - b3|. Аналогично остальные