Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып

$3\times 3$ кестесінің әр торында нақты сан жазылған. $i$-ші қатар мен $j$-ші бағанның қиылысуында орналасқан сан, $i$-ші қатарда тұрған сандар қосындысы мен $j$-ші бағанда тұрған сандар қосындысының айырма модуліне тең $(i,j=1,2,3)$. Кестенің әрбір мүшесі қандай да бір басқа екі мүшелерінің қосындысына немесе айырмасына тең екенін дәлелдендер.

Комментарий/решение

Пусть $a_i$ - сумма элементов в строке номера $i$, аналогично $b_i$ со столбцами. Очевидно $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Число на на 1 строке и 1 столбце равна $|a_1 - b_1| = |a_2 + a_3 - b_2 - b_3|$, откуда $|a_1 - b_1| = x|a_2-b_2| + y|a_3 - b_3|$, где $x,y = \pm 1$. Очевидно $х = у = -1$ невозможно, ибо $|a_1 - b_1| > 0$. Тогда $|a_1 - b_1|$ - сумма или разность $|a_2 - b_2|$ и $|a_3 - b_3|$. Аналогично остальные