Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Три ученика $A$, $B$ и $C$ сдают тесты для поступления в лицей. Тесты проводятся в несколько туров. В каждом туре определяются самый лучший, средний и плохой результаты. За самый лучший результат дается $x$ очков, средний $y$ очков а плохой — $z$ очков, где $x>y>z$ — натуральные числа. В результате всех туров $A$ набрал 22 очка, $B$ и $C$ по 9 очков каждый. Известно, что в первом туре ученик $B$ показал самый лучший результат. Сколько было проведено туров, и как в каждом туре были распределены места?

Комментарий/решение

$z<y<x<9$

Так как у ученика А самый большой результат и огромный по сравнению с B и C, будем считать что в первом раунде А набрал y, B набрал x, а С набрал z очков. В последующих турах А набирал x, B набирал z, C - y очков.

Получается система уравнений:

\begin{gathered}A=y+kx=22,\\B=x+kz=9, \\C=z+ky=9\\\end{gathered}

Где k - количество проведенных туров, не считая первого.

$y+kx+x+kz+z+ky=40$

$x+y+z+k(x+y+z)=40$

$(k+1)(x+y+z)=40$

так как x, y, z натуральные числа и z<y<x, то их минимальная сумма будет 6, перебором убеждаемся, что $k+1=5$, $x+y+z=8$ или $k+1=4$, $x+y+z=10$

Для k=4:

$x+4z=9$

$9-x=4z$. Правая часть делится на 4, значит левая тоже должна делится на 4. Единственный х для которого это возможно это 5, а значит z будет 1. $5+1+y=8$, $y=2$

для k=3:

$x+3z=9$. Аналогичным способом получаем, что x = 6, z = 1, а y = 3, но подставляя в другие уравнения, значения не будут равными. $z+4y=9$, $13=9$, что противоречит условию. Следовательно $k=4$, а $(x,y,z)=(5,2,1)$

Построим таблицу для проверки:

A 2 7 12 17 22

B 5 6 7 8 9

C 1 3 5 7 9