Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ произвольным образом выбрана точка $D$. Пусть $E$ и $F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на стороны $AB$ и $AC$, соответственно. Докажите, что $$\frac{4S^2}{AC^2+AB^2}\leq DE^2+DF^2\leq \max(h_b^2, h_c^2),$$ где $S$ — площадь треугольника, $h_b$ и $h_c$ — длины высот, опущенных из вершин $B$ и $C$, соответственно.

Комментарий/решение

1) Неравенство $\dfrac{4S^2}{AC^2+AB^2} \ \leq DE^2+DF^2$ , можно записать как

$\dfrac{(S_{1}+S_{2})^2}{AC^2+AB^2} \leq \dfrac{S_{1}^2}{AB^2} + \dfrac{S_{2}^2}{AC^2}$ , где $S_{1},S_{2}$ - площади треугольников $ADB,ADC$ соответственно , которая верна из неравенства КБШ или $$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}} + \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2})^2}{b_{1}+b_{2}}$$

2) Пусть $h_{c}>h_{b}$ тогда $AC>AB$ значит $\angle B > \angle C$ покажем что

$DE+DF<h_{c}$ или $BD\cdot \sin(B)+CD \cdot \sin(C) < BD \cdot \sin(B) + CD \cdot \sin(B)$ откуда $\sin(C) < \sin(B)$ что верно, так как $\angle C < \angle B$ значит $DE^2+DF^2 < (DE+DF)^2 < h_{c}^2$

$max{({ h_b}^2 , {h_c}^2)}$ это самая максимальная достигаемая величина опущенных высот, то есть, то что вы сделали правильно, только думаю осталось доказать, что ${S = \dfrac{a \cdot h_b}{2}}$ и $S = \dfrac{a \cdot h_c}{2} \geq \dfrac{ {S_1}^2}{ AB^2} + \dfrac{ {S_2}^2}{ AC^2} \geq \dfrac{ (S_1 + S_2)^2}{AC^2 + AB^2}$