Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс
Комментарий/решение:
1) Неравенство $\dfrac{4S^2}{AC^2+AB^2} \ \leq DE^2+DF^2$ , можно записать как
$\dfrac{(S_{1}+S_{2})^2}{AC^2+AB^2} \leq \dfrac{S_{1}^2}{AB^2} + \dfrac{S_{2}^2}{AC^2} $ , где $S_{1},S_{2}$ - площади треугольников $ADB,ADC$ соответственно , которая верна из неравенства КБШ или $$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}} + \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2})^2}{b_{1}+b_{2}}$$
2) Пусть $h_{c}>h_{b}$ тогда $AC>AB$ значит $\angle B > \angle C$ покажем что
$DE+DF<h_{c}$ или $BD\cdot \sin(B)+CD \cdot \sin(C) < BD \cdot \sin(B) + CD \cdot \sin(B)$ откуда $\sin(C) < \sin(B)$ что верно, так как $\angle C < \angle B$ значит $DE^2+DF^2 < (DE+DF)^2 < h_{c}^2$
$ max{({ h_b}^2 , {h_c}^2)}$ это самая максимальная достигаемая величина опущенных высот, то есть, то что вы сделали правильно, только думаю осталось доказать, что $ {S = \dfrac{a \cdot h_b}{2}}$ и $S = \dfrac{a \cdot h_c}{2} \geq \dfrac{ {S_1}^2}{ AB^2} + \dfrac{ {S_2}^2}{ AC^2} \geq \dfrac{ (S_1 + S_2)^2}{AC^2 + AB^2}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.