Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Докажите, что в четырехугольнике $ABCD$ по крайней мере две стороны параллельны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников $ABD$ и $BCD$ равно произведению площадей треугольников $ABC$ и $ACD$.

Комментарий/решение

Была попытка решить координатным способом, но неожиданно возникли чисто вычислительные сложности. Пришлось применить другой подход.

1) Пусть

$$AB = a;BC = b; CD = c; AD = d$$

$$\angle BAD = \alpha;\angle ABC = \beta;\angle BCD = \gamma;\angle CDA = \varphi$$

2) Вычислим соответствующие произведения площадей

$$S_{\Delta ABD}\cdot S_{\Delta BCD} = \dfrac{ad\sin\alpha}{2}\cdot\dfrac{bc\sin\gamma}{2}$$

$$S_{\Delta ABC}\cdot S_{\Delta ACD} = \dfrac{ab\sin\beta}{2}\cdot\dfrac{cd\sin\varphi}{2}$$

3) Пусть $S_{\Delta ABD}\cdot S_{\Delta BCD} = S_{\Delta ABC}\cdot S_{\Delta ACD}$. Покажем параллельность каких-нибудь двух сторон

4) Если $AB\parallel CD$, то $\alpha = 180^\circ - \varphi\;\;$ и $\;\;\;\beta = 180^\circ - \gamma$

Если $BC\parallel AD$, то $\alpha = 180^\circ - \beta\;\;$ и $\;\;\;\gamma = 180^\circ - \varphi$

5) Обратим внимание, что из (3) должно следовать (4), и при получении (4) нельзя использовать (4)!! Иначе будет будет логическая ошибка.

6) Из (3):

$$\dfrac{abcd}{4}\cdot \sin\alpha\sin\gamma = \dfrac{abcd}{4}\cdot \sin\beta\sin\varphi\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sin\alpha\sin\gamma = \sin\beta\sin\varphi$$

7) Сумма углов в 4-х угольнике равна $360^\circ$

$$\alpha + \beta + \gamma + \varphi = 360^\circ\Rightarrow \varphi = 360^\circ - (\alpha + \beta + \gamma) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sin\varphi = -\sin(\alpha + \beta + \gamma)$$

8) Из (6),(7):

$$\sin\alpha\cdot\sin\gamma = -\sin\beta\cdot\sin(\alpha + \beta + \gamma)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\sin\alpha\cdot\sin\gamma+\sin\beta\cdot\sin(\alpha + \beta + \gamma) = 0$$

9) Из (8) при помощи формулы "произведения синусов двух углов"

$$\dfrac{1}{2}\cdot \left(\cos(\alpha - \gamma) -\cos(\alpha + \gamma)\right) + $$

$$+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\cos(\beta - \alpha-\beta-\gamma) -\cos(\beta + \alpha+\beta+\gamma)\right) = 0$$

10) Раскроем скобки, сократим на $\dfrac{1}{2}$, получим

$$\cos(\alpha - \gamma) -\cos(\alpha + \gamma) + \cos(\alpha+\gamma) -\cos(2\beta + \alpha+\gamma) = 0\Rightarrow$$

$$\cos(\alpha - \gamma) - \cos(2\beta + \alpha+\gamma) = 0$$

Применив формулу "разность косинусов двух углов" преобразуем разность в произведение

$$2\cdot \sin\dfrac{\alpha - \gamma + 2\beta + \alpha + \gamma}{2}\cdot\sin\dfrac{2\beta + \alpha + \gamma -\alpha +\gamma }{2} = 0$$

11) Из (10):

$$\sin(\alpha + \beta)\cdot\sin(\beta + \gamma) = 0$$

Это равносильно совокупности

$$\left[ \begin{array}{ccc} \sin(\alpha + \beta) & = & 0\;\;,0^\circ<\alpha,\beta< 360^\circ \\ \sin(\beta + \gamma) & = & 0\;\;,0^\circ<\gamma,\beta< 360^\circ \\ \end{array}\right.$$

Откуда

$$\alpha + \beta =180^\circ\;\; или\;\;\gamma + \beta = 180^\circ$$

Что равносильно (4)

12) Теперь пойдем в обратную сторону, пусть $AB\parallel CD$ (или же $BC\parallel AD$). Покажем, что в таком случае выполняется $S_{\Delta ABD}\cdot S_{\Delta BCD} = S_{\Delta ABC}\cdot S_{\Delta ACD}$. Для этого в обратном направлении прокручивается цепочка преобразований.