Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Сумма трех целых чисел $a, b, c$ делится на 3. Докажите, что $a^2+b^2+c^2+((a-b)(b-c)(c-a))^2$ также делится на 3.

Комментарий/решение

Так как $a+b+c $ делится нацело на $ 3$,то сумма остатков при делении на $3$ будет равна нулю. Рассмотрим несколько случаев

1) Пусть $a,b,c $ имеют остатки $0$ при делении на $3$. Тогда выражение очевидно разделится на $3$

2) Пусть $a=0(mod 3);b=1 (mod 3);c=2 (mod 3)$, то есть остатки будут $0,1,2$. Тогда выражение имеет следующий остаток:$0+1+1+(2\cdot 2\cdot 2)^2=66=0 (mod3) $. Другими словами, при этом случае выражение делится на 3

3) Если остатки чисел $a ,b , c $ равны $1$ ,то остаток выражения равен:$1+1+1+(0\cdot 0\cdot 0)^2=3=0(mod3) $

Другими словами, при этом случае выражение делится на три нацело .

Этими случаями исчерпывается все целые числа. Таким образом, если сумма чисел $ a, b, c $ делится нацело на три, то выражение разделится на 3,что и требовалось доказать.

откуда 66? может лучше было взять а=3n, b=3n+1, c=3n+2 . Тогда будет 0+1+1+((-1)*(-1)*2)2= 2+4=6 =0(mod3)

Он правильно решил, просто оформления не правельно. Вместо $\equiv$ написал $=$. Сулушаш, $-n \equiv m-n$ $(modm)$.