Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Докажите что для любого натурального $n$ число $$\left( {4 - \frac{2} {1}} \right)\left( {4 - \frac{2} {2}} \right)\left( {4 - \frac{2} {3}} \right) \cdots \left( {4 - \frac{2} {n}} \right)$$ — является натуральным.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Дана функция $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ удовлетворяющая следующим условиям:
а) $f(m + n) \geq f(m) + f(n)$;
б) $f(1)>1$;
в) $f(3000)<3002$.
Найдите $f(2000)$.
комментарий/решение(5)

---

Задача №3.  Дана доска $9\times 9$ покрашенная в шахматном порядке (черных клеток больше). Из этой доски произвольным образом удалили 9 белых клеток. Докажите что оставшуюся часть нельзя разбить на фигурки вида .
комментарий/решение

---

Задача №4.  Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник. Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий (стороны основания не закрашиваются). Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.
комментарий/решение

---

Задача №5.  На доске записана тройка чисел $(a_1 ,a_2 ,a_3 ) = (3,4,12)$. За один шаг разрешается стереть любые два числа $a_i$, $a_j$ ($i\neq j$) и вместо них написать числа $0,\!6a_i - 0,\!8a_j$ и $0,\!6a_j + 0,\!8a_i$, (не обязательно в таком порядке). Можно ли за несколько шагов получить на доске тройку (2,8,10)?
комментарий/решение

---

Задача №6.  Найдите все пары целых чисел $(m; n)$ такие, что $$(m - n)^2 = \frac{{4mn}}{{(m + n - 1)}}.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №7.  Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Через точку $D$ проводится прямая $\alpha$, отличная от $BC$. На прямой $\alpha$ выбраны две точки $E$ и $F$ такие, что углы $AEB$ и $AFC$ — прямые. $L$ — середина $EF$, $M$ — середина $BC$. Найдите угол $ALM$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №8.  На шахматной доске $n\times n$ расставлены $2n$ пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
комментарий/решение(2)

---