Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс
На шахматной доске $n\times n$ расставлены $2n$ пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $k$ это количество строк в которых есть хотя бы одна пешка($k \le n$). Очевидно что если расстояние каких то пар пешек в двух различных строках будут совпадать, то он будет параллелограммом.
Пусть $a_1$ количество пешек в первой из вышеуказанных $k$ строк. Любая строка где $a_i$ пешек, образует не менее $a_i-1$ различных расстояний. Теперь посчитаем все расстояния
$a_1 - 1 + a_2 - 1+...+ a_k - 1 = 2n-k \le n$
Но расстояний у нас всего от 1 до $n-1$, а значит какие то две будут совпадать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.