Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс
На шахматной доске n×n расставлены 2n пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть k это количество строк в которых есть хотя бы одна пешка(k≤n). Очевидно что если расстояние каких то пар пешек в двух различных строках будут совпадать, то он будет параллелограммом.
Пусть a1 количество пешек в первой из вышеуказанных k строк. Любая строка где ai пешек, образует не менее ai−1 различных расстояний. Теперь посчитаем все расстояния
a1−1+a2−1+...+ak−1=2n−k≤n
Но расстояний у нас всего от 1 до n−1, а значит какие то две будут совпадать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.