Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс


На шахматной доске n×n расставлены 2n пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
2 года 5 месяца назад #

Пусть k это количество строк в которых есть хотя бы одна пешка(kn). Очевидно что если расстояние каких то пар пешек в двух различных строках будут совпадать, то он будет параллелограммом.

Пусть a1 количество пешек в первой из вышеуказанных k строк. Любая строка где ai пешек, образует не менее ai1 различных расстояний. Теперь посчитаем все расстояния

a11+a21+...+ak1=2nkn

Но расстояний у нас всего от 1 до n1, а значит какие то две будут совпадать.

  3
2 года 5 месяца назад #

Ещё с прошлого века задачи решай