Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс
Дан остроугольный треугольник ABC. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины A. Через точку D проводится прямая α, отличная от BC. На прямой α выбраны две точки E и F такие, что углы AEB и AFC — прямые. L — середина EF, M — середина BC. Найдите угол ALM.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что точки A,B,D,E лежат на одной окружности , как и точки A,D,C,F с диаметрами AB,CA соответственно. Откуда ∠DBE=∠DAE, ∠DAC=∠DFC , значит треугольники ABE,AFC подобны , найдем ∠EAF=∠DAF−∠DAE=(180∘−(∠ACB+∠ABE))−(∠ABC−∠ABE)=∠BAC , откуда ΔAEF,ΔABC так же подобны . По условия AL,AM медианы треугольников , значит ∠AMD=180∘−∠ALD , то есть точки A,M,D,L лежат на одной окружности, значит ∠ALM=∠ADB=90∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.