Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып
Сүйір бұрышты ABC үшбұрышы берілген. D нүктесі A төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. D нүктесі арқылы BC-дан өзгеше α түзуі жүргізілген. α түзуінің бойынан AEB және AFC бұрыштары тең болатындай E және F нүктелері алынған. L нүктесі — EF кесіндісінің ортасы, ал M нүктесі — BC кесіндісінің ортасы. ALM бұрышы неге тең?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим что точки A,B,D,E лежат на одной окружности , как и точки A,D,C,F с диаметрами AB,CA соответственно. Откуда ∠DBE=∠DAE, ∠DAC=∠DFC , значит треугольники ABE,AFC подобны , найдем ∠EAF=∠DAF−∠DAE=(180∘−(∠ACB+∠ABE))−(∠ABC−∠ABE)=∠BAC , откуда ΔAEF,ΔABC так же подобны . По условия AL,AM медианы треугольников , значит ∠AMD=180∘−∠ALD , то есть точки A,M,D,L лежат на одной окружности, значит ∠ALM=∠ADB=90∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.