Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник. Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий (стороны основания не закрашиваются). Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.

Комментарий/решение

Из $9$ боковых сторон у нас найдется $5$ одного цвета - боо красный. Покажем что какие то $3$ вершин красных боковых сторон попарно образуют диагонали - закрашенный треугольник на основании. Для начала докажем что есть вершина у которой не более $1$ сосед в начальном девятиугольнике. Пусть от противного у каждого из них по $2$ соседа, тогда они образуют правильный незакрашенный пятиугольник что невозможно. У нас есть вершина образующая диагональ с $3$ вершинами и из них найдется $2$ также образующую диагональ. Следовательно у нас есть треугольник на основании, соеденяющий красные боковые стороны. Если у треугольника хотя бы $1$ сторона красная, задача решена. Иначе все стороны синие, что требовалось.