Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$\left( 4-\dfrac{2}{1} \right)\left( 4-\dfrac{2}{2} \right)\left( 4-\dfrac{2}{3} \right)\cdots \left( 4-\dfrac{2}{n} \right)$ санының натурал болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функциясы келесі қасиеттерге ие:
а)

$f\left( m+n \right)\ge f\left( m \right)+f\left( n \right)$ кез келген натурал

$m,n$ үшін;
б)

$f\left( 1 \right) > 1$ ;
в)

$f\left( 3000 \right) < 3002$ .

$f\left( 2000 \right)$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Шахмат тәртібімен боялған

$9\times 9$ тақта берілген (тақтада қара шаршы саны көп). Осы тақтадан кез келген тәсілмен 9 ақ шаршыны алып тастаймыз. Қалған бөліктерді мына

түрдегі фигураларға бөлуге болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №4. Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Тақтада

$\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)=\left( 3,4,12 \right)$ сандары жазылған. Бір қадамда кез келген

${{a}_{k}},{{a}_{p}}$ (

$k\ne p$ ) сандарын өшіріп, орындарына

$0,6{{a}_{k}}-0,8{{a}_{p}}$ және

$0,6{{a}_{p}}+0,8{{a}_{k}}$ сандарын (рет сақталуы маңызды емес) жазуға болады. Бірнеше қадамнан кейін

$\left( 2,3,10 \right)$ сандарын алуға болады ма?
комментарий/решение

Есеп №6.

${{\left( m-n \right)}^{2}}=\dfrac{4mn}{m+n-1}$ теңдеуін қанағаттандыратын

$\left( m,n \right)$ бүтін сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$D$ нүктесі

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны.

$D$ нүктесі арқылы

$BC$ -дан өзгеше

$\alpha$ түзуі жүргізілген.

$\alpha$ түзуінің бойынан

$AEB$ және

$AFC$ бұрыштары тең болатындай

$E$ және

$F$ нүктелері алынған.

$L$ нүктесі —

$EF$ кесіндісінің ортасы, ал

$M$ нүктесі —

$BC$ кесіндісінің ортасы.

$ALM$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(2)

Есеп №8.

$n\times n$ шахмат тақтасына жалпы саны

$2n$ -ға тең дойбылар қойылған. Қандай да бір параллелограммның төбесі болатын төрт дойбы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)