қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал $n$ саны үшін $\left( 4-\dfrac{2}{1} \right)\left( 4-\dfrac{2}{2} \right)\left( 4-\dfrac{2}{3} \right)\cdots \left( 4-\dfrac{2}{n} \right)$ санының натурал болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функциясы келесі қасиеттерге ие:
а) $f\left( m+n \right)\ge f\left( m \right)+f\left( n \right)$ кез келген натурал $m,n$ үшін;
б) $f\left( 1 \right) > 1$;
в) $f\left( 3000 \right) < 3002$.
$f\left( 2000 \right)$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(5)
а) $f\left( m+n \right)\ge f\left( m \right)+f\left( n \right)$ кез келген натурал $m,n$ үшін;
б) $f\left( 1 \right) > 1$;
в) $f\left( 3000 \right) < 3002$.
$f\left( 2000 \right)$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Шахмат тәртібімен боялған $9\times 9$ тақта берілген (тақтада қара шаршы саны көп). Осы тақтадан кез келген тәсілмен 9 ақ шаршыны алып тастаймыз. Қалған бөліктерді мына 
түрдегі фигураларға бөлуге болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
түрдегі фигураларға бөлуге болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №4. Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Тақтада $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)=\left( 3,4,12 \right)$ сандары жазылған. Бір қадамда кез келген ${{a}_{k}},{{a}_{p}}$ ($k\ne p$) сандарын өшіріп, орындарына $0,6{{a}_{k}}-0,8{{a}_{p}}$ және $0,6{{a}_{p}}+0,8{{a}_{k}}$ сандарын (рет сақталуы маңызды емес) жазуға болады. Бірнеше қадамнан кейін $\left( 2,3,10 \right)$ сандарын алуға болады ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. ${{\left( m-n \right)}^{2}}=\dfrac{4mn}{m+n-1}$ теңдеуін қанағаттандыратын $\left( m,n \right)$ бүтін сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $D$ нүктесі $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. $D$ нүктесі арқылы $BC$-дан өзгеше $\alpha$ түзуі жүргізілген. $\alpha$ түзуінің бойынан $AEB$ және $AFC$ бұрыштары тең болатындай $E$ және $F$ нүктелері алынған. $L$ нүктесі — $EF$ кесіндісінің ортасы, ал $M$ нүктесі — $BC$ кесіндісінің ортасы. $ALM$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №8. $n\times n$ шахмат тақтасына жалпы саны $2n$-ға тең дойбылар қойылған. Қандай да бір параллелограммның төбесі болатын төрт дойбы табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)