Областная олимпиада по математике, 2000 год, 10 класс

На доске записана тройка чисел $(a_1 ,a_2 ,a_3 ) = (3,4,12)$. За один шаг разрешается стереть любые два числа $a_i$, $a_j$ ($i\neq j$) и вместо них написать числа $0,\!6a_i - 0,\!8a_j $ и $0,\!6a_j + 0,\!8a_i $, (не обязательно в таком порядке). Можно ли за несколько шагов получить на доске тройку (2,8,10)?

Комментарий/решение

$a^2+b^2+c^2$ является инвариантом при таких операциях, при этом $3^2+4^2+12^2 \neq 2^2+8^2+10^2$, a значит желаемое получить невозможно.