Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

${{1}^{1}}\cdot {{2}^{2}}\cdot {{3}^{3}}\cdot \ldots \cdot {{1998}^{1998}} > {{(1998!)}^{\tfrac{1999}{2}}}$ .
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

${{a}_{1}}$ және

${{a}_{2}}$ кез келген цифрлар болсын. Әрбір натурал

$n$ үшін

${{a}_{n+2}}$ арқылы

$19{{a}_{n+1}}+99{{a}_{n}}$ санының ондық сандар жүйесіндегі соңғы цифрын белгілейік. Онда

$0,{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\ldots$ санының рационал екенін делелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Келесі теңдіктерді қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын тап:

$f\left( xf\left( x \right)+f\left( y \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+y$ және

$f\left( 0 \right)=0$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ — сүйір бұрышты үшбұрыш,

$H$ — оның ортоцентрі.

$BH$ кесіндісінің ортасын

$M$ арқылы белгілейік, ал

$N$ нүктесі

$H$ нүктесінің

$B$ ішкі бұрышының биссектрисасындағы проекциясы,

$MN$ түзуі

$AC$ қабырғасын қақ бөлетінін далелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

${{x}^{8}}+a{{x}^{4}}+1=0$ теңдеуінің төрт түбірі арифметикалық прогрсссия кұрайтындай

$a$ -ның барлық мәнін тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Сурегге көрсетілген «бір» тәріздес плиткаларымен бір-бірімен қиылыспайтындай етіп

$99\times 99$ шақпақты тақтаныжауып шығуга бола ма;

және

?
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$ABCD$ квадратының ішінде

$P$ нүктесі

$AP=2\sqrt{3}$ ;

$BP=\sqrt{2}$ ;

$PC=4$ болатындай орналасқан.

$\angle APC=120{}^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. 2211 сан жиырма үш натурал санның косындысы түрінде жазылған. Осы жиырма үш санның ең кіші ортақ еселігі

$A$ болсын.

$A$ -ның ең кіші мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(2)