Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып


a1 және a2 кез келген цифрлар болсын. Әрбір натурал n үшін an+2 арқылы 19an+1+99an санының ондық сандар жүйесіндегі соңғы цифрын белгілейік. Онда 0,a1a2a3 санының рационал екенін делелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 8 месяца назад #

r=0,a1a2a3...=0,a1+0,0a2+0,00a3+...=

=a110+a2102+a3103+...=k=1ak10k

rQ

19an+1+99an=k+c10an+2=c{0,1,2,..9},kN

19an+1+99an10n=k10n+c10n+1

n=119an+1+99an10n=n=1k10n+n=1c10n+1

190n=1an+110n+1+99n=1an10n=r=k(110+1102+1103+...)+c(1102+1103+...)

190(ra110)+99r=k9+c90

289r=k9+c90+19a1

r=1172(k9+c90)+19172a1Q

Полученное противоречие означает, что rQ. Где, Q множество рациональных чисел