Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып
a1 және a2 кез келген цифрлар болсын. Әрбір натурал n үшін an+2 арқылы 19an+1+99an санының ондық сандар жүйесіндегі соңғы цифрын белгілейік. Онда 0,a1a2a3… санының рационал екенін делелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
r=0,a1a2a3...=0,a1+0,0a2+0,00a3+...=
=a110+a2102+a3103+...=∞∑k=1ak10k
r∉Q
19an+1+99an=k+c10⇒an+2=c∈{0,1,2,..9},k∈N
⇒19an+1+99an10n=k10n+c10n+1⇒
⇒∞∑n=119an+1+99an10n=∞∑n=1k10n+∞∑n=1c10n+1⇒
190∞∑n=1an+110n+1+99∞∑n=1an10n⏟=r=k(110+1102+1103+...)+c(1102+1103+...)
190(r−a110)+99r=k9+c90⇒
289r=k9+c90+19a1⇒
r=1172(k9+c90)+19172a1∈Q
Полученное противоречие означает, что r∈Q. Где, Q− множество рациональных чисел
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.